Class 10 गणित अध्याय-14:प्रायिकता (Probability) Math
अध्याय-14:प्रायिकता
किसी घटना के घटने या न घटने की सम्भाब्यता को उसकी प्रायिकता कहलाती है। उदाहरण के लिए यदि कोई सिक्का उछाला जाय तो या तो हेड आएगा या टेल आएगा। इस प्रकार 2 सम्भावना मे 1 हेड या 1 टेल आएगा। दोनों की ही प्रायिकता 
होगी।
परिभाषा
किसी भी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता के रूप में जाना जाता है। जब कोई घटना घटित होती है, तो अनुकूल परिणामों की संभावनाएँ प्रायिकता का मान होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्के को उछालते हैं तो चित और पट आने की संभावना बराबर होती है। सिक्का उछालना एक प्रयोग है और चित या पट के आने की संभावना क्रमशः चित या पट के आने की प्रायिकता है। एक चित और एक पट प्राप्त करना इस प्रयोग की घटनाएँ हैं।
प्रायिकता का सूत्र (Formula of the Probability)
किसी भी घटना की प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:
किसी घटना A के लिए, उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
घटना A की प्रायिकता, P (A) = घटना A के अनुकूल परिणामों की संख्या / घटना A के परिणामों की कुल संख्या
नोट – उपरोक्त सूत्र केवल सैद्धान्तिक प्रायिकता ज्ञात करने में सहायक है जिसे पारंपरिक प्रायिकता भी कहते हैं।
व्याख्या
प्रायिकता में, प्रत्येक प्रयोग के परिणामों को आदर्श स्थिति में समान माना जाता है। लेकिन व्यावहारिक रूप से हर प्रयोग के परिणाम समान नहीं होते हैं। यदि हम एक सिक्के को समतल सतह पर उछालते हैं तो परिणाम एक चित या एक पट होगा लेकिन यदि हम एक सिक्के को रेत पर उछालते हैं तो परिणाम समान नहीं होंगे क्योंकि सिक्का इसके किनारे के अनुदिश गिर सकता है। इस स्थिति में, तीन परिणाम होंगे लेकिन हम उन पर विचार नहीं करते हैं और आदर्श स्थिति के लिए केवल दो समान परिणामों (चित या पट) पर विचार करते हैं।
इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए हम एक और उदाहरण लेते हैं। एक बॉक्स है और बॉक्स में 5 पेंसिल और 2 पेन हैं और हमें एक पेंसिल या एक पेन निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। चूँकि बॉक्स में 5 पेंसिल और 2 पेन हैं इसलिए पेंसिल मिलने की संभावना पेन मिलने से ज्यादा है। इसका मतलब है कि इस प्रयोग के परिणाम समान नहीं हैं।
यह देखते हुए कि सभी प्रयोगों के परिणाम हमेशा समान नहीं होते हैं, इस कक्षा में, हम मान लेंगे कि सभी प्रयोगों के समान परिणाम हैं।
उदाहरण – एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल – इस उदाहरण में, एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, इसलिए दो संभावित परिणाम होंगे चित या पट। मान लीजिए A चित आने की घटना है।
एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने का परिणाम 1 होता है। इसका अर्थ है कि घटना A के अनुकूल परिणाम 1 है और कुल संभावित परिणाम 2 हैं।
इसलिए,
घटना A की प्रायिकता, P(A) = अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
P(A) =
उत्तर नोट -1) उपरोक्त उदाहरण में, एक पट प्राप्त करने की संभावना भी 1/2 होगी क्योंकि पट प्राप्त करने का अनुकूल परिणाम भी 1 है। माना B पट प्राप्त करने की घटना है। तब
उपरोक्त व्यंजक से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी प्रयोग की सभी घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
2) उपरोक्त उदाहरण में, हमने एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात की है लेकिन हम यह भी कह सकते हैं कि हमने पट न मिलने की प्रायिकता ज्ञात की है। दोनों प्रायिकताएँ समान हैं। A एक चित आने की घटना है और माना A एक पट न आने की घटना है।
इसलिए, दो समान घटनाएँ P(A) और P(A`) हैं। दोनों घटनाओं को जोड़ने पर,
जहाँ, P(A) = चित आने की प्रायिकता
P(A`) = पट न आने की प्रायिकता
सामान्य तौर पर, एक घटना E के लिए, हम लिख सकते हैं, P(E) + P(E`) = 1
जहाँ, P(E) = घटना E की प्रायिकता
P(E`) = घटना E की नहीं प्रायिकता
हम यह भी लिख सकते हैं, P(E) = 1 – P(E`) या P(E`) = 1 – P(E)
3) घटना E`, घटना E की पूरक है इसलिए घटना E और घटना E` को पूरक घटना (Complementary Event) कहा जाता है।
प्रायिकता से संबंधित पद (Terms Related to the Probability)
प्रयोग (Experiment) –प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कार्य करना एक प्रयोग (Experiment) है। जैसे- एक सिक्का उछालना, पासा फेंकना, डिब्बे में से कोई वस्तु निकालना प्रयोग हैं।
घटना (Event) – किसी प्रयोग के परिणाम को घटना (Event) कहते हैं। उदाहरण के लिए – पासे को फेंकने के बाद कोई संख्या प्राप्त करना एक घटना है।
असंभव घटना (Impossible Event) – यदि किसी घटना की प्रायिकता 0 है तो वह असंभव घटना (Impossible Event) कहलाती है। इस प्रकार की घटना का घटित होना असंभव है।
उदाहरण – एक लकड़ी के बक्से में, 3 नीली गेंदें और 2 लाल गेंदें हैं। एक काली गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल – मान लीजिए कि एक काली गेंद प्राप्त होने की घटना A है, लेकिन जैसा कि हम देख सकते हैं कि लकड़ी के बक्से में केवल 3 नीली गेंदें और 2 लाल गेंदें हैं। इसमें कोई काली गेंद नहीं है।
अतः अनुकूल परिणामों की संख्या 0 होगी और संभावित परिणामों की कुल संख्या 3 + 2 = 5 है।
इसलिए,
एक काली गेंद मिलने की प्रायिकता, P(A) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल संभावित परिणाम
P(A) = 0/5
P(A) = 0
यह एक असंभव घटना का उदाहरण है।
निश्चित घटना (Certain Event)– यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 है तो वह घटना निश्चित घटना (Certain Event) कहलाती है। निश्चित घटना को Sure event भी कहा जाता है।
उदाहरण – एक पासे को एक बार फेंकने पर 0 से बड़ी और 7 से छोटी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल – हम जानते हैं कि एक पासे के फलक पर अंकित अंक 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। हमें 0 से बड़ी और 7 से छोटी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है और पासे के फलक पर प्रत्येक अंक 0 से बड़ा और 7 से छोटा है। इसलिए, पासे के फलक पर प्रत्येक संख्या अनुकूल परिणाम है और 6 संख्याएँ हैं इसलिए 6 अनुकूल परिणाम होंगे।
मान लीजिए B, 0 से बड़ी और 7 से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना है और कुल परिणाम भी 6 हैं।
इसलिए, प्रायिकता P(B) = 6/6 = 1
यह एक निश्चित घटना का उदाहरण है।
नोट -1) उपरोक्त उदाहरणों से हम समझ सकते हैं कि प्रायिकता का न्यूनतम मान 0 हो सकता है और प्रायिकता का अधिकतम मान 1 हो सकता है। इसका अर्थ है कि किसी घटना E के लिए प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है या हम लिख सकते हैं 0 ≤ P(E) ≤ 1
2) क्योंकि प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है इसलिए प्रायिकता के सूत्र में अंश (किसी घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या) हमेशा हर (संभावित परिणामों की कुल संख्या) से कम या उसके बराबर होता है।
सैद्धांतिक प्रायिकता
किसी घटना E की सैद्धांतिक प्रायिकता जिसे परंपरागत प्रायिकता भी कहा जाता है।ह P(E) निम्नलिखित रूप में परिभाषित की जाती है।
हल सहित उदाहरण
एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। साथ ही, एक पट प्राप्त करने की भी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग में, संभव परिणामों की संख्या 2 है: चित (H) और पट (T)। मान लीजिए घटना E ‘चित प्राप्त करना’ है। तब, E के अनुकूल (अर्थात् चित प्राप्त करने के अनुकूल) परिणाम 1 है। अतः, P(E) = P (चित) = E के अनुकूल परिणामों की सख्ंया/ सभी संभव परिणामों की सख्ंया = 1/2
इसी प्रकार, यदि घटना F पट प्राप्त करना है, तो P(F) = P (चित) = 1/2
प्रारंभिक घटना
किसी प्रयोग की वह घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो प्रारंभिक घटना कहलाती है। उदाहरण 1 में दोनों घटनाएँ E और F प्रारंभिक घटनाएँ हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में हम देखते हैं कि P(E) + P(F)
= 1/2+1/2 = 1
नोट:
किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है। यह व्यापक रूप में भी सत्य है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं।
(i) 4 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) 4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल
(i) यहाँ मान लीजिए कि ‘4 से बड़ी संख्या प्राप्त करना’ घटना E है। सभी संभव परिणाम छः हैं, ये 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। स्पष्टतः, घटना E के अनुकूल परिणाम 5 और 6 हैं। अतः E के अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है। इसलिए P(E) = P (4 से बड़ी संख्या) = 2/6 = 1/3
(ii) मान लीजिए ‘4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करना’ घटना F है। सभी संभव परिणाम = 6 हैं।
घटना F के अनुकूल परिणाम 1, 2, 3 और 4 हैं।
अतः F के अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है। इसलिए P(F) = 4/6 = 2/3
क्या उपरोक्त उदाहरण में दी हुई घटना E और F प्रारंभिक घटनाएँ हैं? नहीं, ये प्रारंभिक घटनाएँ नहीं हैं, क्योंकि घटना E के 2 परिणाम हैं तथा घटना F के 4 परिणाम हैं।
स्मरणीय तथ्य
प्रायोगिक प्रायिकता (वास्तविक प्रयोगों के परिणामों पर आधारित थीं।) और सैद्धांतिक प्रायिकता (जिसे पारंपरिक प्रायिकता भी कहते हैं) में अंतर। घटना E की सैद्धांतिक (या परंपरागत) प्रायिकता P(E) को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता हैः
जहाँ हम कल्पना करते हैं कि प्रयोग के सभी परिणाम समप्रायिक हैं।
पूरक घटना
घटना ‘E नहीं’ को निरूपित करने वाली घटना Ē घटना E की पूरक घटना कहलाती है। हम यह भी कहते हैं कि E और Ē परस्पर पूरक घटनाएँ हैं।
व्यापक रूप में, किसी घटना E के लिए यह सत्य है कि P(Ē) = 1 – P(E)
असंभव घटना
उस घटना, जिसका घटित होना असंभव है, की प्रायिकता 0 होती है। ऐसी घटना को एक असंभव घटना कहते हैं।
हल सहित उदाहरण
(i) पासे को एक बार फेंकने पर संख्या 8 प्राप्त करने की क्या प्रायिकता है?
(ii) पासे को एक बार फेंकने पर 7 से छोटी संख्या प्राप्त करने की क्या प्रायिकता है?
हल: (i) हम जानते हैं कि पासे को एक बार फेंकने पर केवल छः ही संभावित परिणाम हैं। ये परिणाम 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। चूँकि पासे के किसी भी फलक पर 8 अंकित नहीं है, इसलिए 8 के अनुकूल कोई भी परिणाम नहीं है, अर्थात् ऐसे परिणामों की संख्या शून्य (0) है। दूसरे शब्दों में, पासे को एक बार फेंकने पर, संख्या 8 प्राप्त करना असंभव है। अतः P(8 प्राप्त करना) = 0/6 = 0
अर्थात् उस घटना, जिसका घटित होना असंभव है, की प्रायिकता 0 होती है। ऐसी घटना को एक असंभव घटना कहते हैं।
(ii) चूँकि पासे के प्रत्येक फलक पर ऐसी संख्या लिखी है जो 7 से छोटी है, इसलिए पासे को एक बार फेंकने पर यह निश्चित है कि प्राप्त संख्या सदैव 7 से छोटी होगी। अतः, घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या सभी संभावित परिणामों की संख्या के बराबर होगी, जो 6 है। इसलिए, P(E) = P(7 से छोटी संख्या प्राप्त करना) = 6/6 = 1
निश्चित घटना
अतः उस घटना, जिसका घटित होना निश्चित है, की प्रायिकता 1 होती है। ऐसी घटना को एक निश्चित या निर्धारित घटना कहते हैं।
टिप्पणी:
प्रायिकता P(E) की परिभाषा से, हम देखते हैं कि अंश (घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या) सदैव हर (सभी संभव परिणामों की संख्या) से छोटा होता है या उसके बराबर होता है। अतः,
0 ≤ P(E) ≤ 1
अभ्यास के लिए प्रश्न
अच्छी प्रकार से फेटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता परिकलित कीजिए कि यह पत्ता:
(i) एक इक्का होगा।
(ii) एक इक्का नहीं होगा।
हल
गड्डी को अच्छी प्रकार से फेटनें से परिणामों का समप्रायिक होना सुनिश्चित हो जाता है।
(i) एक गड्डी में 4 इक्के होते हैं। मान लीजिए घटना E ‘एक इक्का होना’ है।
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52 (क्यों?)
P(E) = 4/52 = 1/13
(ii) मान लीजिए घटना F ‘एक इक्का नहीं’ है।
माना F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 – 4 = 48 (क्यों?)
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
P(E) = 48/52 = 12/13
स्मरणीय तथ्य
- एक निश्चित (या निर्धारित) घटना की प्रायिकता 1 होती है।
- एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
- घटना E की प्रायिकता एक ऐसी संख्या P(E) है कि 0 ≤ P(E) ≤ 1
- वह घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो एक प्रारंभिक घटना कहलाती है। किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग 1 होता है।
- किसी भी घटना E के लिए P(E) + P (Ē) = 1 होता है, जहाँ E घटना ‘ Ē नहीं’ को व्यक्त करता है। E और Ē पूरक घटनाएँ कहलाती हैं।
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